Question

14．如图，圆O的直径AB=8，圆周上过点C的切线与BA的延长线交于点E，过点B作AC的平行线交EC的延长线于点P．
（Ⅰ）求证：BE²=CE•PE
（Ⅱ）若EC=2$\sqrt{5}$，求PB的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明：△BEC∽△PEB，即可证明BE²=CE•PE
（Ⅱ）证明△ACE∽△CBE，求出AC，由$\frac{AC}{BP}=\frac{EA}{EB}$，可求PB的长．

解答 （Ⅰ）证明：∵AC∥BP，∴∠ACE=∠P                   …（1分）
∵CE是圆O的切线，
∴∠ACE=∠CBE，
∴∠CBE=∠P        …（2分）
∵∠BEP=∠CEB，
∴△BEC∽△PEB                     …（3分）
∴$\frac{BE}{PE}=\frac{CE}{BE}$，
∴BE²=CE•PE…（4分）
（Ⅱ）解：∵EC为圆O的切线，EC=2$\sqrt{5}$，AB=8，…（5分）
∴EC²=EA•EB=EA（EA+AB），∴EA=2．                      …（6分）
∵∠ECA=∠ABC，∴△ACE∽△CBE，
∴$\frac{AC}{BC}=\frac{EA}{EC}$=$\frac{1}{\sqrt{5}}$．      …（7分）
∵AB为圆O的直径，∴∠ACB=90°，∴AC²+BC²=AB²．
∴AC=$\frac{4\sqrt{6}}{3}$，…（9分）
由$\frac{AC}{BP}=\frac{EA}{EB}$，可得PB=$\frac{20\sqrt{6}}{3}$．                            …（10分）

点评 本题考查三角形相似的判定语性质的运用，考查切割线定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．