Question

11．在棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别为DD₁和BB₁的中点．
（1）求证：四边形AEC₁F为平行四边形；
（2）求直线AA₁与平面AEC₁F所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）取CC₁的中点H，连接BH，EH，运用平行四边形的判定和性质，即可得证；
（2）设A₁到平面AEC₁F的距离为d，运用等积法，可得${V}_{{A}_{1}-AEF}$=${V}_{F-{A}_{1}AE}$，运用三棱锥的体积公式，计算即可得到所求值．

解答 解：（1）取CC₁的中点H，连接BH，EH，
在正方形BCC₁B₁中，BF∥HC₁，BF=HC₁，可得BFC₁H为平行四边形，
即有BH∥FC₁，BH=FC₁，
又AB∥EH，AB=EH，可得四边形ABHE为平行四边形，
即有AE∥BH，AE=BH，
则AE=FC₁，AE∥FC₁，可得四边形AEC₁F为平行四边形；
（2）设A₁到平面AEC₁F的距离为d，
直线AA₁与平面AEC₁F所成角θ的正弦值为$\frac{d}{a}$，
由${V}_{{A}_{1}-AEF}$=${V}_{F-{A}_{1}AE}$，可得$\frac{1}{3}$d•S_△AEF=$\frac{1}{3}$a•${S}_{△{A}_{1}AE}$，
即为d•$\frac{1}{2}$${S}_{菱形AE{C}_{1}F}$=a•$\frac{1}{2}$a²，即有d=$\frac{{a}^{3}}{\frac{1}{2}\sqrt{2}a•\sqrt{3}a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$a，
即有直线AA₁与平面AEC₁F所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查空间线线的位置关系的判断和线面角的求法，注意运用平行四边形的判定和性质，以及体积转换法，考查运算能力，属于中档题．