Question

20．在△ABC中，点D在AB上，CD平分∠ACB，若AC=2，BC=1，且$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{CD}=-\frac{1}{3}$，则AB的长为$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 设∠ACD=θ，根据向量的数量积可得CDcosθ=$\frac{1}{3}$，设D到BC，AC的距离为x，利用角平分线的性质求出BD，AD，列出方程即可得出x，从而求出AB．

解答 解：设∠ACD=∠BCD=θ，
则$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{CD}$=（$\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}$）$•\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{CD}$+$\overrightarrow{CB}•\overrightarrow{CD}$=2CDcos（π-θ）
+CDcosθ=-CDcosθ，
∴-CDcosθ=-$\frac{1}{3}$，即CDcosθ=$\frac{1}{3}$，
过D作DE⊥BC，DF⊥AB，则CE=CF=$\frac{1}{3}$，
∴BE=$\frac{2}{3}$，AF=$\frac{5}{3}$．
设DE=DF=x，则BD=$\sqrt{{x}^{2}+\frac{4}{9}}$，AD=$\sqrt{{x}^{2}+\frac{25}{9}}$，
∴$\frac{BD}{AD}=\frac{\sqrt{{x}^{2}+\frac{4}{9}}}{\sqrt{{x}^{2}+\frac{25}{9}}}=\frac{1}{2}$，解得x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴AB=3BD=3$\sqrt{{x}^{2}+\frac{4}{9}}$=$\sqrt{7}$．
故答案为：$\sqrt{7}$．

点评 本题考查了平面向量在几何中的应用，三角形中的几何计算，属于中档题．