题目内容
已知M是△ABC内的一点（不含边界），且
=2
，∠BAC=30°，若△MBC，△MCA和△MAB的面积分别为x，y，z．（1）x+y+z= ；
（2）定义f（x，y，z）=
+
+
，则f（x，y，z）的最小值是 ．
【答案】分析：（1）先根据向量数量积的定义求出AB•AC，从而求出△ABC的面积，而△MBC，△MCA和△MAB的面积和即为△ABC的面积，即可求出所求；
（2）先在等式f（x，y，z）=
+
+
两边同乘以x+y+z，然后利用均值不等式进行求解即可．
解答：解：（1）
=2
=AB•AC•cos30°
∴AB•AC=4，S△ABC=
AB•AC•sin30°=1=x+y+z
（2）∵1=x+y+z
∴f（x，y，z）=
+
+
=（
+
+
）（x+y+z）
=1+4+9+
≥14+4+6+12=36，
故答案为：1，36
点评：本题主要考查了向量的应用，以及三角形的面积公式，同时考查了均值不等式的应用，属于基础题．
（2）先在等式f（x，y，z）=
+
+
两边同乘以x+y+z，然后利用均值不等式进行求解即可．解答：解：（1）
=2
=AB•AC•cos30°
∴AB•AC=4，S△ABC=
AB•AC•sin30°=1=x+y+z（2）∵1=x+y+z
∴f（x，y，z）=
+
+
=（
+
+
）（x+y+z）=1+4+9+
≥14+4+6+12=36，
故答案为：1，36
点评：本题主要考查了向量的应用，以及三角形的面积公式，同时考查了均值不等式的应用，属于基础题．
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