题目内容

已知M是△ABC内的一点（不含边界），且
AB
.
AC
=2
3
∠BAC=30°，若△MBC，△MCA和△MAB的面积分别为x，y，z，则
1
x+y
+
4
z
的最小值是
9
9
．
分析：利用向量的数量积公式可求|
AB
||
AC
|，根据三角形的面积公式，可得x+y+z=1，再利用基本不等式，即可求得结论．
解答：解：∵
AB
•
AC
=2
3
，∠BAC=30°
∴|
AB
||
AC
|•cos30°=2
3

∴|
AB
||
AC
|=4，
∴S△ABC=
1
2
|
AB
||
AC
|•sin30°=1=x+y+z
∴
1
x+y
+
4
z
=（
1
x+y
+
4
z
）（x+y+z）=5+
z
x+y
+
4(x+y)
z

∵x＞0，y＞0，z＞0
∴
z
x+y
+
4(x+y)
z
≥2
z
x+y
×
4(x+y)
z
=4
∴
1
x+y
+
4
z
的最小值是9
故答案为：9
点评：本题考查向量的数量积公式，考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知M是△ABC内的一点，且
AB
•
AC
=2
3
，∠BAC=30°，若△MBC，△MCA和△MAB的面积分别为
1
2
，x，y，则
1
x
+
4
y
的最小值是（　　）
A、20B、18C、16D、9
已知M是△ABC内的一点（不含边界），且
AB
•
AC
=2
3
，∠BAC=30°，若△MBC，△MCA和△MAB的面积分别为x，y，z．
（1）x+y+z=
 
；
（2）定义f（x，y，z）=
1
x
+
4
y
+
9
z
，则f（x，y，z）的最小值是
 
．
已知M是△ABC内的一点，且
AB
•
AC
=2
3
，∠BAC=30°，若△MBC，△MCA，△MAB的面积分别为
1
2
，x，y，则
1
x
+
4
y
的最小值为
 
．
已知M是△ABC内的一点，且
AB
•
AC
=2
3
，∠BAC=30°．定义：f（M）=（x，y，z），其中x，y，z分别为△MBC，△MCA，△MAB的面积，若f（M）=（x，y，
1
2
），则
1
2x
+
2
y
的最小值为
9
9
，此时f（M）=（
(
1
6
，
1
3
，
1
2
)
(
1
6
，
1
3
，
1
2
)
．

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