Question

17．已知实数a，b，c，d满足（a-lnb）²+（c-d）²=0，则（a-c）²+（b-d）²的最小值为$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 实数a，b，c，d满足（a-lnb）²+（c-d）²=0，可得a=lnb，c=d．令y=f（x）=lnx，y=g（x）=x，转化为求上述两曲线之间的最小距离，设直线y=x+m与曲线f（x）=lnx相切于点P（x₀，y₀）．利用导数的几何意义求出切点，进而得出．

解答 解：实数a，b，c，d满足（a-lnb）²+（c-d）²=0，∴a=lnb，c=d．
令y=f（x）=lnx，y=g（x）=x，
设直线y=x+m与曲线f（x）=lnx相切于点P（x₀，y₀）．
f′（x）=$\frac{1}{x}$，∴$\frac{1}{{x}_{0}}$=1，解得x₀=1，可得P（1，0），
代入切线方程可得：0=1+m，解得m=-1．
则两条平行线y=x，y=x-1的距离d=$\frac{1}{\sqrt{2}}$．
∴（a-c）²+（b-d）²的最小值为d²=$\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了导数的几何意义、两点之间的距离公式、点到直线的距离公式、平行线之间的距离公式、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．