题目内容

已知f是直角坐标平面xOy到自身的一个映射，点P在映射f下的象为点Q，记作Q=f（P）．
设P1（x1，y1），P2=f（P1），P3=f（P2），…，Pn=f（Pn-1），…．如果存在一个圆，使所有的点Pn（xn，yn）（n∈N*）都在这个圆内或圆上，那么称这个圆为点Pn（xn，yn）的一个收敛圆．特别地，当P1=f（P1）时，则称点P1为映射f下的不动点．
（Ⅰ） 若点P（x，y）在映射f下的象为点Q（2x，1-y）．
①求映射f下不动点的坐标；
②若P1的坐标为（1，2），判断点Pn（xn，yn）（n∈N*）是否存在一个半径为3的收敛圆，并说明理由．
（Ⅱ） 若点P（x，y）在映射f下的象为点，P1（2，3）．求证：点Pn（xn，yn）（n∈N*）存在一个半径为的收敛圆．
【答案】分析：（Ⅰ）①设不动点的坐标为P（x，y），依据对应关系及不动点的定义，列解方程组 ，并解即可．
②由P1（1，2），得P2（2，-1），P3（4，2），P4（8，-1）所以|P1P4|=＞6，则点P1，P4不可能在同 一个半径为3的圆内
（Ⅱ） 由Pn+1=f（Pn），得，构造两个等比数列 写出它们的通项公式，设A（3，1），，计算Pn到A的距离，可得此距离小于，故所有的点Pn（n∈N*）都在以 P为圆心，为半径的圆内．
解答：解：（Ⅰ）①解：设不动点的坐标为P（x，y），
 由题意，得，
所以映射f下不动点为
②结论：点Pn（xn，yn）不存在一个半径为3的收敛圆．
  证明：由P1（1，2），得P2（2，-1），P3（4，2），P4（8，-1），
   所以|P1P4|=＞6，
   则点P1，P4不可能在同 一个半径为3的圆内，
   所以点Pn（xn，yn）（n∈N*） 不存在一个半径为3的收敛圆
 （Ⅱ）证明：由P1（2，3），得．
由Pn+1=f（Pn），得
所以xn+1+yn+1=xn+1，xn+1-yn+1=yn+1，
   由Pn+2=f（Pn+1），得，
  所以xn+2=
  即xn+2-3=，
  由x1-3≠0，x2-3≠0，得xn-3≠0，
同理yn-1≠0，
  所以，
  所以数列{x2n-1-3}，{x2n-3}（n∈N*）都是公比为的等比数列，首项分别为   ，
  所以，
 同理可得
 所以对任意n∈N*，|xn-3|≤1，|yn-1|≤2，
 设A（3，1），则|APn|=，
  所以|APn|≤，
 故所有的点Pn（n∈N*）都在以A（3，1）为圆心，为半径的圆内或圆上，
  即点Pn（xn，yn）存在一个半径为的收敛圆
点评：本题考查映射的定义，构造等比数列并求通项公式，两点间的距离公式的应用．考查分析解决问题，阅读处理信息等能力．
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y)．
（Ⅰ）求映射f下不动点的坐标；
（Ⅱ）若P1的坐标为（2，2），求证：点Pn（xn，yn）（n∈N*）存在一个半径为2的收敛圆．
已知f是直角坐标平面xOy到自身的一个映射，点P在映射f下的象为点Q，记作Q=f（P）．
设P1（x1，y1），P2=f（P1），P3=f（P2），…，Pn=f（Pn-1），…．如果存在一个圆，使所有的点Pn（xn，yn）（n∈N*）都在这个圆内或圆上，那么称这个圆为点Pn（xn，yn）的一个收敛圆．特别地，当P1=f（P1）时，则称点P1为映射f下的不动点．
（Ⅰ） 若点P（x，y）在映射f下的象为点Q（2x，1-y）．
①求映射f下不动点的坐标；
②若P1的坐标为（1，2），判断点Pn（xn，yn）（n∈N*）是否存在一个半径为3的收敛圆，并说明理由．
（Ⅱ） 若点P（x，y）在映射f下的象为点Q(
x+y
2
+1，
x-y
2
)，P1（2，3）．求证：点Pn（xn，yn）（n∈N*）存在一个半径为
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的收敛圆．

（09年西城区抽样文）（14分）

   已知f是直角坐标平面xOy到自身的一个映射，点在映射f下的象为点，记作.

设，,. 如果存在一个圆，使所有的点都在这个圆内或圆上，那么称这个圆为点的一个收敛圆. 特别地，当时，则称点为映射f下的不动点.

若点在映射f下的象为点.     

(Ⅰ) 求映射f下不动点的坐标；

     (Ⅱ) 若的坐标为(2,2)，求证：点存在一个半径为2的收敛圆.

（09年西城区抽样理）（14分）

   已知f是直角坐标平面xOy到自身的一个映射，点在映射f下的象为点，记作.

设，,. 如果存在一个圆，使所有的点都在这个圆内或圆上，那么称这个圆为点的一个收敛圆. 特别地，当时，则称点为映射f下的不动点.

    (Ⅰ) 若点在映射f下的象为点.

  1 求映射f下不动点的坐标；

  2 若的坐标为(1,2)，判断点是否存在一个半径为3的收敛圆，并说明理由.

(Ⅱ) 若点在映射f下的象为点,(2,3). 求证：点存在一个半径为的收敛圆.
已知f是直角坐标平面xOy到自身的一个映射，点P在映射f下的象为点Q，记作Q=f(P)，设P1（x1，y1），P2=f(P1)，P3=f(P2)，…，Pn=f(Pn-1)，…。如果存在一个圆，使所有的点Pn(xn，yn)(n∈N*)都在这个圆内或圆上，那么称这个圆为点Pn(xn，yn)的一个收敛圆。特别地，当P1=f(P1)时，则称点P1为映射f下的不动点，
(Ⅰ)若点P(x，y)在映射f下的象为点Q(2x，1-y)，
①求映射f下不动点的坐标；
②若P1的坐标为(1，2)，判断点Pn(xn，yn)(n∈N*)是否存在一个半径为3的收敛圆，并说明理由；
(Ⅱ)若点P(x，y)在映射f下的象为点，P1(2，3)，求证：点Pn(xn，yn)(n∈N*)存在一个半径为的收敛圆。

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