Question

（09年西城区抽样理）（14分）

   已知f是直角坐标平面xOy到自身的一个映射，点在映射f下的象为点，记作.

设，,. 如果存在一个圆，使所有的点都在这个圆内或圆上，那么称这个圆为点的一个收敛圆. 特别地，当时，则称点为映射f下的不动点.

    (Ⅰ) 若点在映射f下的象为点.

  1 求映射f下不动点的坐标；

  2 若的坐标为(1,2)，判断点是否存在一个半径为3的收敛圆，并说明理由.

(Ⅱ) 若点在映射f下的象为点,(2,3). 求证：点存在一个半径为的收敛圆.

Answer 1

解析：（Ⅰ）1解：设不动点的坐标为，

         由题意，得，解得，

         所以映射f下不动点为.                        -------------------2分

2结论：点不存在一个半径为3的收敛圆.

   证明：由，得，

   所以，

   则点不可能在同一个半径为3的圆内，

   所以点N^*)不存在一个半径为3的收敛圆.     ------------------5分

 （Ⅱ）证明：由，得.                 

         由，得，                 ---------------7分

         所以，

         由，得，

         所以，                 ------------------9分

         即，

         由，得，同理，

         所以，

         所以数列N^*)都是公比为的等比数列，首项分别为 

     ，

         所以，

         同理可得.     ------------------12分

         所以对任意N^*，，

         设，则，

         所以，

         故所有的点都在以为圆心，为半径的圆内或圆上，

        即点存在一个半径为的收敛圆.            ----------------14分