Question

7．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左顶点为A，上项点为B，M（1，0），N（n，0），|MB|=$\sqrt{2}$，|AM|=3．过点M作直线l（与x轴不重合），直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且有NP⊥NQ．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求实数n的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由条件M（1，0），|MB|=$\sqrt{2}$，可知b=1，再由|AM|=3，可得a=2，进而得到椭圆方程；
（Ⅱ）讨论当直线l斜率不存在时，直线的斜率垂直，求出直线方程，联立椭圆方程，运用韦达定理和向量垂直的条件：数量积为0，解不等式可得a的范围．

解答 解：（Ⅰ）B为上项点，M（1，0），|MB|=$\sqrt{2}$，可知b=1，
又|AM|=3，且左顶点为A，所以a=2，
所以椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（Ⅱ）当直线l斜率不存在时，方程为x=1，易得P（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），Q（1，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
因为NP⊥NQ，所以N在以M为圆心，$\frac{\sqrt{3}}{2}$为半径的圆上，又N（n，0），
所以可得n=1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$或n=1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
当直线l斜率存在且不为0时，设方程为y=k（x-1），联立$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1可得，
（1+4k²）x²-8k²x+4k²-4=0，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），所以x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，（*）
因为NP⊥NQ，所以$\overrightarrow{NP}$•$\overrightarrow{NQ}$=0，即（x₁-n）（x₂-n）+y₁y₂=0，
所以（1+k²）x₁x₂-（n+k²）（x₁+x₂）+n²+k²=0，
将（*）式代入整理得（4n²-8n+1）k²+n²-4=0，
所以k²=$\frac{4-{n}^{2}}{4{n}^{2}-8n+1}$＞0，可得-2＜n＜1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$或1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜n＜2；
综上可知：-2＜n≤1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$或1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$≤n＜2．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，以及向量垂直的条件：数量积为0，考查运算能力，属于中档题．