Question

17．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥底面ABC，CC₁⊥底面ABC，AC⊥CB，点D是AB的中点．
（Ⅰ）求证：AC⊥BC₁；
（Ⅱ）求证：AC₁∥平面CDB₁．
（Ⅲ）设AB=2AA₁，AC=BC，在线段A₁B₁上是否存在点M，使得BM⊥CB₁？若存在，确定点M的位置；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （I）先证明CC₁⊥AC，又AC⊥BC，BC∩CC₁=C，可证AC⊥平面BCC₁B₁，从而可证AC⊥BC₁．
（Ⅱ）设CB₁与C₁B的交点为E，连结DE，可证DE∥AC₁．即可判定AC₁∥平面CDB₁．
（Ⅲ）可证AA₁⊥CD，CD⊥AB，从而证明CD⊥平面AA₁B₁B，取线段A₁B₁的中点M，连接BM．可证CD⊥BM，BM⊥B₁D，即可证明BM⊥平面B₁CD，从而得证BM⊥CB₁．

解答 （本小题满分14分）
证明：（I）在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，因为CC₁⊥底面ABC，AC?底面ABC，
所以CC₁⊥AC．
又AC⊥BC，BC∩CC₁=C，
所以AC⊥平面BCC₁B₁．
而BC₁?平面BCC₁B₁，
则AC⊥BC₁．…（4分）
（Ⅱ）设CB₁与C₁B的交点为E，连结DE，
因为D是AB的中点，E是BC₁的中点，
所以DE∥AC₁．
因为DE?平面CDB₁，AC₁?平面CDB₁，
所以AC₁∥平面CDB₁．…（9分）
（Ⅲ）在线段A₁B₁上存在点M，使得BM⊥CB₁，且M为线段A₁B₁的中点．
证明如下：因为AA₁⊥底面ABC，CD?底面ABC，
所以AA₁⊥CD．                            
由已知AC=BC，D为线段AB的中点，
所以CD⊥AB．
又AA₁∩AB=A，
所以CD⊥平面AA₁B₁B．
取线段A₁B₁的中点M，连接BM．
因为BM?平面AA₁B₁B，所以CD⊥BM．
由已知AB=2AA₁，由平面几何知识可得BM⊥B₁D．
又CD∩B₁D=D，所以BM⊥平面B₁CD．
又B₁C?平面B₁CD，
所以BM⊥CB₁．…（14分）

点评 本题主要考查了直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定和性质，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．