Question

已知函数f（x）=

1

3

x³+ax²+（2a-1）x
（1）当a=3时，求函数f（x）的极值；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）在（1）的条件下，设函数f（x）在x₁，x₂（x₁＜x₂）处取得极值，记点M（x₁，f（x₁）），N（x₂，f（x₂）），证明：线段MN与曲线f（x）存在异于M、N的公共点．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）据求导法则求出导函数，根据函数极值和导数之间的关系即可求出函数极值．
（2）令导数为0得两个根，分类讨论两个根大小判断根左右两边导数的符号，得函数单调性．
（3）由（1）求出极值点，由两点式求出直线方程，与曲线方程联立判断有无其他公共点．

解答： 解：（1）∵f（x）=

1

3

x³+ax²+（2a-1）x，
∴f′（x）=x²+2ax+（2a-1）．
若a=3，f（x）=

1

3

x³+3x²+5x，f′（x）=x²+6x+5=（x+1）（x+5）．
由f′（x）＞0得x＞-1或x＜-5，此时函数单调递增，
由f′（x）＜0得-5＜x＜-1，此时函数单调递减，
即当x=-5函数取得极大值f（-5）=

25

3

，
当x=-1函数取得极小值f（-1）=-

7

3

，
（2）由（1）得f（x）=

1

3

x³+ax²+（2a-1）x，
∴f′（x）=x²+2ax+（2a-1）．
故f′（x）=x²+2ax+2a-1=（x+1）（x+2a-1）．
令f′（x）=0，则x=-1或x=1-2a．
①当a＞1时，1-2a＜-1．
当x变化时，f′（x）与f（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，1-2a）	（1-2a，-1）	（-1，+∞）
f′（x）	+	-	+
f（x）	单调递增	单调递减	单调递增

由此得，函数f（x）的单调增区间为（-∞，1-2a）和（-1，+∞），单调减区间为（1-2a，-1）．
②当a=1时，1-2a=-1．此时，f′（x）≥0恒成立，且仅在x=-1处f′（x）=0，故函数f（x）的单调增区间为R．
③当a＜1时，1-2a＞-1，同理可得函数f（x）的单调增区间为（-∞，-1）和（1-2a，+∞），单调减区间为（-1，1-2a）．
综上所述：当a＞1时，函数f（x）的单调增区间为（-∞，1-2a）和（-1，+∞），单调减区间为（1-2a，-1）；
当a=1时，函数f（x）的单调增区间为R；
当a＜1时，函数f（x）的单调增区间为（-∞，-1）和（1-2a，+∞），单调减区间为（-1，1-2a）．
（3）由（1）知，故M（-5，

25

3

），N（-1，-

7

3

）．
所以直线MN的方程为y=-

8

3

x-5．
由

y= 1 3 x3+3x2+5x y=- 8 3 x-5

，得x³+9x²+23x+15=0．
令F（x）=x³+9x²+23x+15．
易得F（-4）=3＞0，F（-2）=-3＜0，而F（x）的图象在（-4，-2）内是一条连续不断的曲线，
故F（x）在（-4，-2）内存在零点x₀，这表明线段MN与曲线f（x）有异于M，N的公共点．

点评：本小题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想．