Question

1．已知数列{a_n}为等比数列，S_n是它的前n项和．设T_n=S₁+S₂+…+S_n，若a₂•a₃=2a₁，且a₄与2a₇的等差中项为$\frac{5}{4}$，则T₆=160.5．

Answer 1

分析 利用等比数通项公式及等差中项性质，列出方程组，由此能求出结果．

解答 解：∵数列{a_n}为等比数列，S_n是它的前n项和．
设T_n=S₁+S₂+…+S_n，a₂•a₃=2a₁，且a₄与2a₇的等差中项为$\frac{5}{4}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}q•{a}_{1}{q}^{2}=2{{a}_{1}}^{\;}}\\{{a}_{1}{q}^{3}+2{a}_{1}{q}^{6}=2×\frac{5}{4}}\end{array}\right.$，
解得${a}_{1}=16，q=\frac{1}{2}$，
T₆=16+$\frac{16（1-\frac{1}{{2}^{2}}）}{1-\frac{1}{2}}$+$\frac{16（1-\frac{1}{{2}^{3}}）}{1-\frac{1}{2}}$+$\frac{16（1-\frac{1}{{2}^{4}}）}{1-\frac{1}{2}}$+$\frac{16（1-\frac{1}{{2}^{5}}）}{1-\frac{1}{2}}$+$\frac{16（1-\frac{1}{{2}^{6}}）}{1-\frac{1}{2}}$=160.5．
故答案为：160.5．

点评 本题考查等比数列的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列、等差数列的性质的合理运用．