Question

已知函数（其中为自然对数的底数）.
（1）求函数的单调区间；
（2）定义：若函数在区间上的取值范围为，则称区间为函数的“域同区间”.试问函数在上是否存在“域同区间”？若存在，求出所有符合条件的“域同区间”；若不存在，请说明理由.

Answer 1

（1）单调递增区间为和，单调递减区间为；（2）详见解析.

试题分析：（1）先求出函数的定义域与导数，求出极值点，解有关导数的不等式，从而确定函数的单调增区间和减区间；（2）结合（1）中的结论可知，函数在区间上单调递增，根据定义得到，，问题转化为求方程在区间上的实数根，结合导数来讨论方程在区间上的实根的个数，从而确定函数在区间上是否存在“域同区间”.
试题解析：（1），定义域为，
且，
令，即，解得或；令，即，解得，
故函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；
（2）由（1）知，函数在区间上是单调递增函数，
假设函数在区间上存在“域同区间”，则有，，
则方程在区间上有两个相异实根，
构造新函数，定义域为，
则，
设，则，
当时，，则恒成立，
因此函数在区间上单调递增，，，
故函数在区间上存在唯一零点，则有，
当时，；当时，，
故函数在区间上是单调递减函数，在区间上是单调递增函数，
因为，，，
所以函数在区间有且只有一个零点，
这与方程有两个大于的实根相矛盾，所以假设不成立！
所以函数在区间上不存在“域同区间”.