题目内容

已知函数,其中为常数.
(1)当时,求函数的单调递增区间;
(2)若任取,求函数上是增函数的概率.
(Ⅰ)函数的单调递增区间分别为;(Ⅱ)函数上是增函数的概率为

试题分析:(Ⅰ)求函数的单调递增区间,首先将代入,我们易求出函数的解析式,从而求出函数的导函数后,令导函数的函数值大于等于0,由此构造关于的不等式,解不等式即可得到函数的单调递增区间;(Ⅱ)求函数上是增函数的概率,这是一个几何概型问题,我们可以先画出,对应的平面区域的面积,然后再求出满足条件函数上是增函数时对应的平面区域的面积,计算出对应的面积后,代入几何概型公式即可得到答案.
试题解析:(1)当时, 
,解得
故函数的单调递增区间分别为 
(2)
若函数上是增函数,则对于任意恒成立.
所以,,即           8分
设“上是增函数”为事件,则事件对应的区域为

全部试验结果构成的区域
所以,
故函数上是增函数的概率为 
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