Question

已知二次函数f（x）=mx²-2x-3，关于实数x的不等式f（x）≤0的解集为（-1，n）
（1）当a＞0时，解关于x的不等式：ax²+n+1＞（m+1）x+2ax；
（2）是否存在实数a∈（0，1），使得关于x的函数y=f（a^x）-3a^x+1（x∈[1，2]）的最小值为-5？若存在，求实数a的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据韦达定理得方程组求出m，n的值，再通过讨论a的范围，从而求出不等式的解集；
（2）把m=1代入方程，得出y=（a^x）²-（3a+2）a^x-3，令a^x=t，（a²≤t≤a），则y=t²-（3a+2）t-3，得出函数的单调性，从而表示出y=f（t）的最小值，进而求出a的值．

解答： 解：（1）由不等式mx²-2x-3≤0的解集为（-1，n）知
关于x的方程mx²-2x-3=0的两根为-1和n，且m＞0
由根与系数关系，得

-1+n= 2 m -1×n=- 3 m

∴

m=1 n=3

，
所以原不等式化为（x-2）（ax-2）＞0，
①当0＜a＜1时，原不等式化为(x-2)(x-

2

a

)＞0，且2＜

2

a

，解得x＞

2

a

或x＜2；
②当a=1时，原不等式化为（x-2）²＞0，解得x∈R且x≠2；③
④当a＞1时，原不等式化为(x-2)(x-

2

a

)＞0，且2＞

2

a

，解得x＜

2

a

或x＞2；
综上所述
当0＜a≤1时，原不等式的解集为{x|x＞

2

a

或x＜2}；
当1＜a＜2时，原不等式的解集为{x|x＞2或x＜

2

a

 }．
（2）假设存在满足条件的实数a，
由（1）得：m=1，
∴f（x）=x²-2x-3，
∴y=f（a^x）-3a^x+1
=a^2x-2a^x-3-3a^x+1
=（a^x）²-（3a+2）a^x-3，
令a^x=t，（a²≤t≤a），
则y=t²-（3a+2）t-3
∴对称轴为：t=

3a+2

2

，
又0＜a＜1，
∴a²＜a＜1，1＜

3a+2

2

＜

5

2

，
∴函数y=t²-（3a+2）t-3在[a²，a]递减，
∴t=a时，y最小为：y=-2a²-2a-3=-5，
解得：a=

5 -1

2

，

点评：本题考查了二次函数的性质，指数函数的性质，考查不等式的解法，考查分类讨论思想，换元思想，是一道综合题．