题目内容

某校高一年级60名学生参加数学竞赛，成绩全部在40分至100分之间，现将成绩分成以下6段：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，据此绘制了如图所示的频率分布直方图．
（1）求成绩在区间[80，90）的频率；
（2）从成绩大于等于80分的学生中随机选3名学生，其中成绩在[90，100]内的学生人数为ξ，求ξ的分布列与均值．
考点：离散型随机变量的期望与方差,频率分布直方图
专题：概率与统计
分析：（1）由各组的频率之和为1，能求出成绩在区间[80，90）的频率．
（2）由题意，ξ可能取的值为0，1，2，3，分别求出P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2），P（ξ=3），由此能求出ξ的分布列与均值．
解答： 解：（1）∵各组的频率之和为1，
∴成绩在区间[80，90）的频率为
1-（0.005×2+0.015+0.020+0.045）×10=0.1，…（3分）
（2）由已知和（1）的结果可知成绩在区间[80，90）内的学生有60×0.1=6人，
成绩在区间[90，100]内的学生有60×0.005×10=3人，…4 分
依题意，ξ可能取的值为0，1，2，3…5 分
P（ξ=0）=
C
3
6
C
3
9
=
5
21
，
P（ξ=1）=
C
2
6
C
1
3
C
3
9
=
15
28
，
P（ξ=2）=
C
1
6
C
2
3
C
3
9
=
3
14
，
P（ξ=3）=
C
3
3
C
3
9
=
1
84
，
所以ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3
P
5
21
15
28
3
14
1
84
…（10分）
则均值Eξ=0×
5
21
+1×
15
28
+2×
3
14
+3×
1
84
=1．…（12分）
点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查频率分布直方图的应用，是中档题，解题时要注意排列组合知识的合理运用．
练习册系列答案
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记者在街上随机抽取10人，在一个月内接到的垃圾短信条数统计的茎叶图如图：
（Ⅰ）计算样本的平均数及方差；
（Ⅱ）现从10人中随机抽出2名，设选出者每月接到的垃圾短信在10条以下的人数为X，求随机变量X的分布列和期望．
（Ⅰ）设a，b，c∈（0，+∞），求证：
a2
b
+
b2
c
+
c2
a
≥a+b+c；
（Ⅱ）已知a+b=1，对?a，b∈（0，+∞），
1
a
+
4
b
≥|2x-1|-|x+1|恒成立，求x的取值范围．
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是AA1的中点，
（Ⅰ）求直线BC与A1C所成的角的度数． 
（Ⅱ）求证：A1C∥平面BDE．
已知函数f(x)=x+
a
x
+2，x∈[1，+∞)．
（1）当a=
1
2
时，①用定义探讨函数f（x）在区间[1，+∞）上的单调性；
②解不等式：f(2x-
1
2
)＜f(x+1006)；
（2）若对任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，试求实数a的取值范围．
设f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，f（-1）=-1，且对任意a，b∈[-1，1]，当a≠b时，都有
f(a)-f(b)
a-b
＞0；
（1）解不等式f（x-
1
2
）＜f(2x-
1
4
)）；
（2）设p={x|y=f（x-c）}，Q={x|y=f（x-c2）}且P∩Q=∅，求c的取值范围．
（3）若f（x）≤m2-2km+1对所有x∈[-1，1]，k∈[-1，1]恒成立，求实数m的取值范围．
已知Rt△AOB的三个顶点都在抛物线y2=2px上，其中直角顶点O为原点，OA所在直线的方程为y=
3
x，△AOB的面积为6
3
，求该抛物线的方程．
已知函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0，b，c∈R），F（x）=
f(x)，      x≥0
-f(-x)，   x＜0
，
（Ⅰ）若f（x）在x=-1处取得最小值为0，且f（0）=1，求F（-1）+F（2）的值；
（Ⅱ）若a=1，c=0，且|f（x）|≤1对x∈[0，1]恒成立，求b的取值范围；
（Ⅲ）若a=1，b=-2，c=0，且y=F（x）与y=-t的图象在闭区间[-1，t]上恰有一个公共点，求实数t的取值范围．
已知直线l经过点（
1
2
，2），其横截距与纵截距分别为a、b（a、b均为正数），则使a+b≥c恒成立的c的取值范围为
 
．

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