题目内容
（Ⅰ）设a，b，c∈（0，+∞），求证：
+
+
≥a+b+c；
（Ⅱ）已知a+b=1，对?a，b∈（0，+∞），
+
≥|2x-1|-|x+1|恒成立，求x的取值范围．
| a2 |
| b |
| b2 |
| c |
| c2 |
| a |
（Ⅱ）已知a+b=1，对?a，b∈（0，+∞），
| 1 |
| a |
| 4 |
| b |
考点：综合法与分析法(选修）,函数恒成立问题
专题：证明题,综合题,不等式的解法及应用
分析：（Ⅰ）a＞0，b＞0，c＞0，利用基本不等式，可得
+b≥2a，同理
+b≥2b，
+a≥2c，三式累加即可证得结论成立；
（Ⅱ）利用基本不等式可求得
+
=（a+b）（
+
）=5+
+
≥9，于是
+
≥|2x-1|-|x+1|恒成立?|2x-1|-|x+1|≤9恒成立，通过对x范围的分类讨论，去掉绝对值符号后解之，即可求得x的取值范围．
| a2 |
| b |
| b2 |
| c |
| c2 |
| a |
（Ⅱ）利用基本不等式可求得
| 1 |
| a |
| 4 |
| b |
| 1 |
| a |
| 4 |
| b |
| b |
| a |
| 4a |
| b |
| 1 |
| a |
| 4 |
| b |
解答：
解：（Ⅰ）∵a，b，c∈（0，+∞），
∴a2+b2≥2ab，
∴
+b≥2a，同理
+b≥2b，
+a≥2c，
相加得
+
+
+a+b+c≥2a+2b+2c，
∴
+
+
≥a+b+c；
（Ⅱ）∵a＞0，b＞0 且a+b=1，
∴
+
=（a+b）（
+
）=5+
+
≥9，
∴
+
的最小值为9．
∵对?a，b∈（0，+∞），
+
≥|2x-1|-|x+1|恒成立，
∴|2x-1|-|x+1|≤9．
∴当x≤-1时，2-x≤9，解得：x≥-7，
∴-7≤x≤-1；
当-1＜x＜
时，-3x≤9，解得：x≥-3，
∴-1＜x＜
；
当x≥
时，x-2≤9，解得：x≤11，
∴
≤x≤11；
综上所述，x的取值范围为：-7≤x≤11．
∴a2+b2≥2ab，
∴
| a2 |
| b |
| b2 |
| c |
| c2 |
| a |
相加得
| a2 |
| b |
| b2 |
| c |
| c2 |
| a |
∴
| a2 |
| b |
| b2 |
| c |
| c2 |
| a |
（Ⅱ）∵a＞0，b＞0 且a+b=1，
∴
| 1 |
| a |
| 4 |
| b |
| 1 |
| a |
| 4 |
| b |
| b |
| a |
| 4a |
| b |
∴
| 1 |
| a |
| 4 |
| b |
∵对?a，b∈（0，+∞），
| 1 |
| a |
| 4 |
| b |
∴|2x-1|-|x+1|≤9．
∴当x≤-1时，2-x≤9，解得：x≥-7，
∴-7≤x≤-1；
当-1＜x＜
| 1 |
| 2 |
∴-1＜x＜
| 1 |
| 2 |
当x≥
| 1 |
| 2 |
∴
| 1 |
| 2 |
综上所述，x的取值范围为：-7≤x≤11．
点评：本题考查基本不等式的应用，突出考查综合法证明不等式，考查转化思想与推理论证的能力，考查分类讨论思想与恒成立问题，属于难题．
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