Question

【题目】设函数f（x）=|x-a|+x，其中a＞0．

（1）当a=3时，求不等式f（x）≥x+4的解集；

（2）若不等式f（x）≥x+2a2在x∈[1，3]恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）{x|x≤-1或x≥7}；（2）-1

【解析】

（1）分情况去绝对值解不等式可得；

（2）由题意可得：|x-a|≥2a2在x∈[1，3]恒成立，再按照a与区间[1，3]的关系分3种情况讨论．

（1）当a=3时，不等式f（x）≥x+4，即|x-3|+x≥x+4，即|x-3|≥4，

x≥7或x≤-1

故不等式f（x）≥x+4的解集为{x|x≤-1或x≥7}

（2）由题意可得：|x-a|≥2a2在x∈[1，3]恒成立，

①当a＜1时，则x-a＞0，∵x-a≥2a2在x∈[1，3]上恒成立，∴1-a≥2a2，解得-1；

②当1≤a≤3时，∵|x-a|≥2a2在x∈[1，3]上恒成立，∴当x=a时，0≥2a2，解得a=0舍去；

③当a≥3时，则x-a＜0，∴-x+a≥2a2在[1，3]上恒成立，∴-3+a≥2a2，此不等式无解；

综上，-1．