Question

【题目】已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且3bcos A=ccos A+acosC．
（1）求tanA的值；
（2）若a=4 ，求△ABC的面积的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵3bcos A=ccos A+acosC，∴3sinBcos A=sinCcos A+sinAcosC=sin（A+C）=sinB．

sinB≠0，化为：cosA= ，∴sinA= = ，可得tanA= =2 ．

（2）解：32=a2=b2+c2﹣2bccosA≥2bc = bc，可得bc≤24，当且仅当b=c=2 取等号．

∴S△ABC= ≤ =8 ．

∴当且仅当b=c=2 时，△ABC的面积的最大值为8

【解析】（1）由3bcos A=ccos A+acosC，可得3sinBcos A=sinCcos A+sinAcosC，化为：3cosA=1．可得sinA= ，可得tanA= ．（2）32=a2=b2+c2﹣2bccosA，再利用基本不等式的性质可得bc≤24．利用S△ABC= 即可得出．
【考点精析】掌握正弦定理的定义是解答本题的根本，需要知道正弦定理:．