Question

若函数f(x)=

m2+m+1

x2-4mx+12

在[-2，+∞）上为减函数，则实数m的取值范围为

（-2，-1]

．

Answer 1

分析：先判断出m2+m+1=(m+

1

2

)2+

3

4

＞0，则根据复合函数的单调性关系可知，[-2，+∞）是函数t=g（x）=x²-4mx+12的单调递增区间，结合定义域确定不等关系，即可求出m的取值范围．

解答：解：∵m2+m+1=(m+

1

2

)2+

3

4

＞0，∴要使函数f(x)=

m2+m+1

x2-4mx+12

在[-2，+∞）上为减函数，
设t=g（x）=x²-4mx+12，则[-2，+∞）是函数t=g（x）=x²-4mx+12的单调递增区间，且g（-2）＞0，
即t=g（x）=x²-4mx+12的对称轴x=-

-4m

2

=2m≤-2，解得m≤-1．
又g（-2）=4+8m+12＞0，即8m＞-16，解得m＞-2，
综上-2＜m≤-1．
即实数m的取值范围为（-2，-1]．
故答案为：（-2，-1]．

点评：本题主要考查函数单调性的应用，利用复合函数单调性之间的关系确定不等条件是解决本题的基本思路，确定分子大于0是解决本题的关键，利用对称轴和区间之间的关系，并结合函数的定义域是解决本题的难点，本题综合性较强．