Question

函数f（x）的定义域为D，若满足如下两条件：①f（x）在D内是单调函数；②存在[

m

2

，

n

2

]⊆D，使得f（x）在[

m

2

，

n

2

]上的值域为[m，n]，那么就称函数f（x）为“囧函数”，若函数f(x)=loga(ax-t)，(a＞0，a≠1)是“囧函数”，则t的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：由题意可得，函数f（x）在[

m

2

，

n

2

]上的值域为[m，n]，且是单调递增的，a＞1 且 

loga(a  m 2 -t)=m loga(a  n 2 -t)=n

 即

a m 2 -t=am a n 2 -t=a n

，可得a^x-a

x

2

+t=0 有2个不等实数根，再根据判别式△＞0求得t的范围．

解答：解：∵函数f(x)=loga(ax-t)，(a＞0，a≠1)是“囧函数”，
∴函数f（x）在[

m

2

，

n

2

]上的值域为[m，n]，且是单调递增的，
∴a＞1 且 

loga(a  m 2 -t)=m loga(a  n 2 -t)=n

，∴

a m 2 -t=am a n 2 -t=a n

，
∴a^x-a

x

2

+t=0 有2个不等实数根，∴△=1-4t＞0．
解得 t＜

1

4

，
故答案为（-∞，

1

4

）．

点评：本题考查函数的值域，难点在于构造函数，转化为两函数有不同二交点，利用方程解决，属于中档题．