题目内容

已知向量
m
=(sinx，-1)，
n
=(
3
cosx，-
1
2
)，函数f(x)=
m
2+
m
•
n
-2．
（1）若x∈(
π
6
，
π
2
)，求f（x）的值域；
（2）已知a、b、c分别为△ABC内角A、B、C的对边，且a，b，c成等比数列，角B为锐角，且f（B）=1，求
1
tanA
+
1
tanC
的值．
分析：（1）由数量积的运算化简已知式子，结合角x的范围和三角函数的性质可得；
（2）由（1）可知f(B)=sin(2B-
π
6
)=1，进而可得B=
π
3
，再由等比数列可得b2=ac，结合正弦定理得sin2B=sinAsinC，代入要求的式子由三角函数的知识化简可得．
解答：解：（1）由题意可得f(x)=(
m
+
n
)•
m
-2
=sin2x+1+
3
sinxcosx+
1
2
-2
=
1-cos2x
2
+
3
2
sin2x-
1
2
=
3
2
sin2x-
1
2
cos2x=sin(2x-
π
6
)．
∵x∈(
π
6
，
π
2
)，∴2x-
π
6
∈(
π
6
，
5π
6
)，
∴f(x)∈(
1
2
，1]．
（2）由（1）可知f(B)=sin(2B-
π
6
)=1，
∵0＜B＜
π
2
，∴-
π
6
＜2B-
π
6
＜
5π
6
，
∴2B-
π
6
=
π
2
，B=
π
3
．
又∴a，b，c成等比数列，∴b2=ac
由正弦定理得sin2B=sinAsinC，
∴
1
tanA
+
1
tanC
=
cosA
sinA
+
cosC
sinC
=
sinCcosA+cosCsinA
sinAsinC
=
sin(A+C)
sin2B
=
1
sinB
=
2
3
3
．
点评：本题考查平面向量数量积的运算，涉及三角函数的化简和正弦定理的应用，属中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
m
=(sinθ，2cosθ)，
n
=(
3
，-
1
2
)，若
m
⊥
n
，则sin2θ的值为
 
已知向量
m
=(sinωx，cosωx)，
n
=(cosωx，cosωx)(ω＞0)，设函数f(x)=
m
•
n
且f（x）的最小正周期为π．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）先将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，然后将图象向下平移
1
2
个单位，得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）在区间上[0，
3π
4
]上的取值范围．
已知向量
m
=(sinθ，2cosθ)，
n
=(
3
，-
1
2
)，当θ∈[0，π]时，函数f(θ)=
m
•
n
的值域是
[-1，2]
[-1，2]
．
（2012•上海二模）已知向量
m
=(sin(2x+
π
6
)，sinx)，
n
=（1，sinx），f（x）=
m
•
n
．
（1）求函数y=f（x）的最小正周期及单调递减区间；
（2）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若f（
B
2
）=
2
+1
2
，b=
5
，c=
3
，求a的值．
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知向量
m
=(sin 
A
2
，cos 
A
2
)，
n
=(cos 
A
2
，-cos 
A
2
)，且2
m
•
n
+|
m
|=
2
2
，
AB
•
AC
=1．
（1）求角A的大小
（2）求△ABC的面积．

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