题目内容
设函数f（x）=
•
，其中
=（2cosx，1），
=（cosx，-
sin2x）．
（1）求函数的单调区间；
（2）若x∈（-
，0），求函数的值域．
| a |
| b |
| a |
| b |
| 3 |
（1）求函数的单调区间；
（2）若x∈（-
| π |
| 4 |
考点：两角和与差的正弦函数,平面向量数量积的运算,正弦函数的定义域和值域,正弦函数的单调性
专题：三角函数的求值
分析：（1）由向量的运算和三角函数公式可得f（x）=1+2cos（2x+
），整体法易得单调区间；
（2）由x∈（-
，0），结合三角函数的运算可得值域．
| π |
| 3 |
（2）由x∈（-
| π |
| 4 |
解答：
解：（1）∵
=（2cosx，1），
=（cosx，-
sin2x），
∴f（x）=
•
=2cos2x-
sin2x
=1+cos2x-
sin2x
=1+2cos（2x+
）
由2kπ≤2x+
≤2kπ+π可得kπ-
≤x≤kπ+
，
∴函数的单调递减区间为：[kπ-
，kπ+
]（k∈Z），
同理可得单调递增区间为[kπ-
，kπ-
]（k∈Z）；
（2）∵x∈（-
，0），∴2x+
∈（-
，
），
∴cos（2x+
）∈（
，1]，
∴1+cos（2x+
）∈（
，2]，
∴函数的值域为：（
，2]
| a |
| b |
| 3 |
∴f（x）=
| a |
| b |
| 3 |
=1+cos2x-
| 3 |
=1+2cos（2x+
| π |
| 3 |
由2kπ≤2x+
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
∴函数的单调递减区间为：[kπ-
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
同理可得单调递增区间为[kπ-
| 2π |
| 3 |
| π |
| 6 |
（2）∵x∈（-
| π |
| 4 |
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
∴cos（2x+
| π |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
∴1+cos（2x+
| π |
| 3 |
| 3 |
| 2 |
∴函数的值域为：（
| 3 |
| 2 |
点评：本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及三角函数的单调性和值域，属中档题．
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