Question

已知各项均不相等的等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S₃＝15，且a₃＋1为a₁＋1和a₇＋1的等比中项．
(1)求数列{a_n}的通项公式与前n项和S_n；
(2)设T_n为数列{}的前n项和，问是否存在常数m，使T_n＝m[＋]，若存在，求m的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）a_n＝2n＋1      S_n＝n(n＋2)
（2）数m＝，见解析

解：(1)设数列{a_n}的公差为d，由已知，可得
S₃＝a₁＋a₂＋a₃＝15，得a₂＝a₁＋d＝5，
由a₃＋1为a₁＋1和a₇＋1的等比中项，
可得(6＋d)²＝(6－d)×(6＋5d)，化简得d²－2d＝0，
解得d＝0(不合题意，舍去)或d＝2，
当d＝2时，a₁＝3，其通项公式为a_n＝3＋(n－1)×2＝2n＋1，前n项和S_n＝n(n＋2)．
(2)由(1)知数列{a_n}的前n项和为S_n＝n(n＋2)，
则有＝＝ (－)，
T_n＝ (1－＋－＋－＋…＋－＋－)＝ (1＋－－)＝ [＋]．
故存在常数m＝，使得T_n＝m[＋]成立．