Question

已知数列满足（为常数，）
（1）当时，求；
（2）当时，求的值；
（3）问：使恒成立的常数是否存在？并证明你的结论．

Answer 1

（1）   （2）   （3）存在常数,使恒成立．

试题分析：假设题型中,先假设存在,然后在该假设下根据题中的已知条件去求值或证明,如果最后可得到数值或证明,则说明存在,否则不存在;分类讨论．
（1）当时,根据已知条件可判断出其符合等差数列的等差中项公式,所以知该数列是等差数列,此时根据题中所给的该数列的前两项,可求出公差,进而利用等差数列的通项公式,求出通项．
（2）该题只是给出了数列的前两项和一个递推公式,而此时如果求数列的通项会相当的繁琐,困难．观察题目会发现,要求的是当时的第项,项数很大,所以猜想该数列的各项之间必然有一定的规律,故不妨列出数列的若干项观察规律,会发现该数列是一个周期为6的数列．有了初步判断之后,可以根据,找到,最终得到,从而证明开始的猜想,然后根据,可以得出结论,进而求出．
（3）首先假设存在,然后在该假设下根据题中的已知条件去求,如果最后可得到常数,则说明存在,否则不存在．根据①,可得②;根据及,可得③; 将③带入②有④,此时①④式子含有相同的项,所以1式减④式得．分别讨论
或是否成立,并最终形成结论．
（1）当时,根据题意可知成立,显然该式符合等差数列的等差中项公式,
所以该数列是等差数列,根据题意首项为,公差为,
根据差数列的通项公式可知．
（2）根据题意列出该数列的一些项,如下:
，，，，，，
，，，，，，
,
我们发现该数列为一周期为6的数列．
事实上，根据题意可知,,则有①
又因为有②
将②带入①化简得③；
根据③式有，
所以说明该数列是周期为6的数列．
因为，所以．
（3）假设存在常数，使恒成立．
由①,可得②，
及,可得③
将③带入②有④ 
①式减④式得．
所以，或．
当，时，数列｛｝为常数数列，显然不满足题意．
由得，于是，
即对于，都有，
所以，从而．
所以存在常数，使恒成立．