Question

已知数列{a_n}满足a1=

1

3

，且S_n=n（2n-1）a_n，
（1）求a₂，a₃的值；猜想a_n的表达式并用数学归纳法证明
（2）求

lim

n→∞

Sn．

Answer 1

分析：（1）通过n=2，3，求出a₂，a₃，猜想a_n的表达式，利用数学归纳法证明即可．
（2）利用（1）的结果，利用裂项法求出S_n的表达式，然后求出数列的极限．

解答：解：（1）a2=

1

3×5

=

1

15

，a3=

1

5×7

=

1

35

…（2分）
猜想：an=

1

(2n-1)(2n+1)

（3分）　　
　下证明：
①当n=1时，a1=

1

1×3

=

1

3

，满足题意，正确．
②假设n=k时猜想正确，即ak=

1

(2k-1)(2k+1)

，
那么S_k+1=（k+1）（2k+1）a_k+1，
S_k=k（2k-1）a_k，
两式作差可得：a_k+1=（k+1）（2k+1）a_k+1-k（2k-1）×

1

(2k-1)(2k+1)

，
a_k+1（2k²+3k）=

k

(2k+1)

∴ak+1=

1

(2k+1)(2k+3)

═

1

[2(k+1)-1][2(k+1)+1]

，
由①②可知猜想正确．…（8分）
（2）

Sn= 1 1×3 + 1 3×5 + 1 5×7 +…+ 1 (2n-1)(2n+1) = 1 2 (1- 1 3 + 1 3 - 1 5 +…+ 1 2n-1 - 1 2n+1 ) = 1 2 (1- 1 2n+1 )= n 2n+1

∴

lim

n→∞

Sn=

1

2

…（12分）

点评：本题考查数列通项公式的求法，数列前n项和的求法，数列的极限的求法，考查计算能力．