Question

【题目】已知点为圆上的动点，点在轴上的投影为，点为线段AB的中点，设点的轨迹为．

（1）求点的轨迹的方程；

（2）已知直线与交于两点，，若直线的斜率之和为3，直线是否恒过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）恒过定点（，）．

【解析】

（1）设点，由题意可知，得到，代入化简得到答案.

（2）设M（x1，y1），B（x2，y2），考虑斜率存在和斜率不存在两种情况，联立方程，利用韦达定理，根据斜率和为3得到，得到定点.

（1） 设点，由题意可知，

为中点，即，即，

又点在圆上，，代入得，得到轨迹方程为.

（2）设M（x1，y1），B（x2，y2），

①当l的斜率存在时，设l：y＝kx+m，

由，得，

，即4k2﹣m2+1＞0，

∴，，

∵直线QM，QN的斜率之和为3，∴，

∴2k+＝3，∴2k＝3，∴，，

当时，由 4k2﹣m2+1＞0，故，即或时符合题意，

此时直线l：y＝kx+恒过定点（，）；

②当l的斜率不存在时，x1＝x2，y1＝﹣y2，

∵直线QM，QN的斜率之和为3，∴，

∴x2＝，此时直线l：x＝，恒过定点（，）．

综上所述：直线过定点（，）．