Question

电灯可在点A与桌面的垂直线上移动（如图），在桌面上另一点B离垂足O的距离为a，为使点B处有最大的照度（照度I与sin∠OBA成正比，与r²成反比，且比例系数均为正的常数），则电灯A与点O的距离为（　　）

• A．

  3 2

  2

  a
• B．

  2

  2

  a
• C．

  2

  a
• D．

  2

  3

  a

Answer 1

分析：根据题意列出照度函数关系式，建立三角函数模型，然后用均值不等式求最值即可．

解答：解：依题意，记∠OBA=∅，可设照度I=k•

sin∅

r2

，（k为正常数），则有cosφ=

a

r

，I=k

sin∅cos2∅

a2

，
又sinφcos²φ=

sin2∅cos4∅

=

4sin2∅ 1 2 cos2∅ 1 2 cos2∅

≤

( sin2∅+ 1 2 cos2∅+ 1 2 cos2∅ 3 )3

=

4( 1 3 )3

．
当且仅当sin²φ=

1

2

cos2φ即，tanφ=

2

2

时，I有最大值，此时

AO

a

=

2

2

，即AO=

2

2

a
故选B．

点评：解答此题要注意审题，理解照度的含义，建立三角函数模型，考查均值不等式的应用．