Question

（2012•湖北）设A是单位圆x²+y²=1上的任意一点，i是过点A与x轴垂直的直线，D是直线i与x轴的交点，点M在直线l上，且满足丨DM丨=m丨DA丨（m＞0，且m≠1）．当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C．
（I）求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求焦点坐标；
（Ⅱ）过原点且斜率为k的直线交曲线C于P、Q两点，其中P在第一象限，它在y轴上的射影为点N，直线QN交曲线C于另一点H，是否存在m，使得对任意的k＞0，都有PQ⊥PH？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（I）设M（x，y），A（x₀，y₀），根据丨DM丨=m丨DA丨，确定坐标之间的关系x₀=x，|y₀|=

1

m

|y|，利用点A在圆上运动即得所求曲线C的方程；根据m∈（0，1）∪（1，+∞），分类讨论，可确定焦点坐标；
（Ⅱ）?x₁∈（0，1），设P（x₁，y₁），H（x₂，y₂），则Q（-x₁，-y₁），N（0，y₁），利用P，H两点在椭圆C上，可得

m2x12+y12=m2① m2x22+y22=m2②

，从而可得可得

(y1-y2)(y1+y2)

(x1-x2)(x1+x2)

=-m2．利用Q，N，H三点共线，及PQ⊥PH，即可求得结论．

解答：解：（I）如图1，设M（x，y），A（x₀，y₀）
∵丨DM丨=m丨DA丨，∴x=x₀，|y|=m|y₀|
∴x₀=x，|y₀|=

1

m

|y|①
∵点A在圆上运动，∴x02+y02=1②
①代入②即得所求曲线C的方程为x2+

y2

m2

=1(m＞0，m≠1)
∵m∈（0，1）∪（1，+∞），
∴0＜m＜1时，曲线C是焦点在x轴上的椭圆，两焦点坐标分别为（-

1-m2

，0），(

1-m2

，0)
m＞1时，曲线C是焦点在y轴上的椭圆，两焦点坐标分别为（0，-

m2-1

），(0，

m2-1

)
（Ⅱ）如图2、3，?x₁∈（0，1），设P（x₁，y₁），H（x₂，y₂），则Q（-x₁，-y₁），N（0，y₁），
∵P，H两点在椭圆C上，∴

m2x12+y12=m2① m2x22+y22=m2②

①-②可得

(y1-y2)(y1+y2)

(x1-x2)(x1+x2)

=-m2③
∵Q，N，H三点共线，∴k_QN=k_QH，∴

2y1

x1

=

y1+y2

x1+x2

∴k_PQ•k_PH=

y1(y1-y2)

x1(x1-x2)

=-

m2

2

∵PQ⊥PH，∴k_PQ•k_PH=-1
∴-

m2

2

= -1
∵m＞0，∴m=

2

故存在m=

2

，使得在其对应的椭圆x2+

y2

2

=1上，对任意k＞0，都有PQ⊥PH

点评：本题考查轨迹方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查代入法求轨迹方程，计算要小心．