Question

13．某公司生产一种商品的固定成本为200元，每生产一件商品需增加投入10元，已知总收益满足函数：g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{40x-\frac{1}{2}{x}^{2}，0≤x≤40}\\{800，x＞40}\end{array}\right.$其中x是商品的月产量．
（1）将利润表示为月产量的函数f（x）（总收益=总成本+利润）；
（2）当月产量为何值时公司所获利润最大？最大利润为多少元？

Answer 1

分析 （1）利润=收益-成本，由已知分两段当0≤x≤40时，和当x＞40时，求出利润函数的解析式；
（2）分段求最大值，两者大者为所求利润最大值．

解答 解：（1）由于月产量为x件，则总成本为200+10x，
从而利润f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{40x-\frac{1}{2}{x}^{2}-200-10x，0≤x≤40}\\{800-200-10x，x＞40}\end{array}\right.$，
即有f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}{x}^{2}+30x-200，0≤x≤40}\\{600-10x，x＞40}\end{array}\right.$；
（2）当0≤x≤40时，f（x）=-$\frac{1}{2}$（x-30）²+250，
所以当x=30时，有最大值250；
当x＞40时，f（x）=600-10x是减函数，
所以f（x）=600-10×40=200＜250．
所以当x=30时，有最大值250，
即当月产量为30件时，公司所获利润最大，最大利润是250元．

点评 本题考查函数模型的应用：生活中利润最大化问题．函数模型为分段函数，求分段函数的最值，应先求出函数在各部分的最值，然后取各部分的最值的最大值为整个函数的最大值，取各部分的最小者为整个函数的最小值．