Question

1．在△ABC中，$C=\frac{π}{3}$，则cos²A+cos²B的最大值和最小值分别是（　　）

• A． $1-\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{3}{2}$
• B． $\frac{1}{2}$，$\frac{5}{4}$
• C． $1-\frac{{\sqrt{3}}}{2}，1+\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• D． $1-\frac{{\sqrt{3}}}{2}，1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}$

Answer 1

分析 由题意可得 A-B∈[-120°，120°]，利用二倍角公式化简 y=cos²A+cos²B 为$\frac{1}{2}$+cos（A-B），由于 cos120°≤cos（A-B）≤cos0°，即-$\frac{1}{2}$≤cos（A-B）≤1，从而求得cos²A+cos²B 的最值．

解答 解：∵A+B=120°，
∴A-B∈[-120°，120°]，
∴y=cos²A+cos²B=$\frac{1+cos2A}{2}$+$\frac{1+cos2B}{2}$═1+$\frac{1}{2}$（cos2A+cos2B）
=1+cos（A+B）cos（A-B）=1+cos120°cos（A-B）
=1-$\frac{1}{2}$cos（A-B），
∵由于 cos120°≤cos（A-B）≤cos0°，即-$\frac{1}{4}$≤$\frac{1}{2}$cos（A-B）≤$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$≤cos²A+cos²B≤$\frac{5}{4}$．
故选：B．

点评 本题是基础题，考查三角函数的化简求值，二倍角公式、和差化积公式的应用，考查计算能力．