Question

已知F₁、F₂是椭圆C：

x2

4

+

y2

3

=1的焦点，点P是C上的动点，则PF₁的取值范围为

[1，3]

．

Answer 1

分析：根据椭圆方程，得c=

a2-b2

=1，设F₁是椭圆左焦点（-1，0），点P的坐标为（x₀，y₀），可得PF₁=

(x0+1)2+y02

，结合

x 02

4

+

y 02

3

=1，化简可得PF₁=

1

2

|x₀+4|，最后根据椭圆上一点横坐标的取值范围，可得|x₀+4|∈[2，6]，从而得到PF₁的取值范围．

解答：解：∵椭圆C：

x2

4

+

y2

3

=1中，a²=4，b²=3
∴c=

a2-b2

=1
设F₁是椭圆的左焦点，得F₁的坐标为（-1，0），P的坐标为（x₀，y₀）
∴PF₁=

(x0+1)2+y02

∵点P是C上的动点，
∴

x 02

4

+

y 02

3

=1，可得y02=3（1-

x 02

4

）
∴PF₁=

(x0+1)2+3(1- x 02 4 )

=

1

2

|x₀+4|
∵-2≤x₀≤2
∴|x₀+4|∈[2，6]，PF₁∈[1，3]，
故答案为：[1，3]

点评：本题给出椭圆上一动点P，求该点到椭圆左焦点距离的取值范围，着重考查了椭圆的基本概念和简单性质，属于基础题．