Question

设数列{a_n}是公差为d的等差数列，其前n项和为S_n．
（1）已知a₁=1，d=2，
（ⅰ）求当n∈N^*时，

Sn+64

n

的最小值；
（ⅱ）当n∈N^*时，求证：

2

S1S3

+

3

S2S4

+…+

n+1

SnSn+2

＜

5

16

；
（2）是否存在实数a₁，使得对任意正整数n，关于m的不等式a_m≥n的最小正整数解为3n-2？若存在，则求a₁的取值范围；若不存在，则说明理由．

Answer 1

分析：（1）（ⅰ）先利用等差数列的求和公式得出Sn，再结合基本不等式求得

Sn+64

n

的最小值即可；
（ⅱ）由（ⅰ）知S_n=n²，当n∈N^*时，由于

n+1

SnSn+2

=

n+1

n2(n+2)2

=

1

4

[

1

n2

-

1

(n+2)2

]利用裂项求和的方法化简所证不等式的左边，最后进行放缩即得所要证不等式．
（2）对于存在性问题，可先假设存在，即存在实数a₁，使得对任意正整数n，关于m的不等式a_m≥n的最小正整数解为3n-2，再利用不等关系求得d和实数a₁的范围，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．

解答：解：（1）（ⅰ）解：∵a₁=1，d=2，
∴Sn=na1+

n(n-1)d

2

=n2，

Sn+64

n

=n+

64

n

≥2

n× 64 n

=16，
当且仅当n=

64

n

，即n=8时，上式取等号．故

Sn+64

n

的最小值是16．（4分）
（ⅱ）证明：由（ⅰ）知S_n=n²，当n∈N^*时，

n+1

SnSn+2

=

n+1

n2(n+2)2

=

1

4

[

1

n2

-

1

(n+2)2

]，（6分）

2

S1S3

+

3

S2S4

+…+

n+1

SnSn+2

=

1

4

(

1

12

-

1

32

)+

1

4

(

1

22

-

1

42

)+…+

1

4

[

1

n2

-

1

(n+2)2

]=

1

4

(

1

12

+

1

22

+…+

1

n2

)-

1

4

[

1

32

+

1

52

+…+

1

(n+1)2

+

1

(n+2)2

]=

1

4

[

1

12

+

1

22

-

1

(n+1)2

-

1

(n+2)2

]，（8分）
∵

1

(n+1)2

+

1

(n+2)2

＞0，∴

2

S1S3

+

3

S2S4

+…+

n+1

SnSn+2

＜

1

4

(

1

12

+

1

22

)＜

5

16

．（9分）
（2）假设对?n∈N^*，关于m的不等式a_m=a₁+（m-1）d≥n的最小正整数解为c_n=3n-2，
当n=1时，a₁+（c₁-1）d=a₁≥1；（10分）
当n≥2时，恒有

a1+(cn-1)d≥n a1+(cn-2)d＜n

，即

(3d-1)n+(a1-3d)≥0 (3d-1)n+(a1-4d)＜0

，
从而

3d-1≥0 (3d-1)×2+(a1-3d)≥0 3d-1≤0 (3d-1)×2+(a1-4d)＜0

?d=

1

3

，1≤a1＜

4

3

．（12分）
当d=

1

3

，1≤a1＜

4

3

时，对?n∈N^*，且n≥2时，当正整数m＜c_n时，
有a1+

m-1

3

＜a1+

cn-1

3

且a1+

cn-1

3

＞n．（13分）
所以存在这样的实数a₁符合题意且a₁的取值范围是[1，

4

3

)．

点评：此题是个难题．考查根据数列的递推公式利用构造法求数列的通项公式，及数列的求和问题，题目综合性强，特别是问题（2）的设置，数列与不等式恒成立问题结合起来，能有效考查学生的逻辑思维能力和灵活应用知识分析解决问题的能力，体现了转化的思想和分类讨论的思想．