题目内容

已知△ABC的三边长成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为 $数学公式$ ，则这个三角形的周长是________．

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分析：设三角形的三边分别为a、b、c，且a＞b＞c＞0，设公差为d=2，推出a-b=b-c=2，a=c+4，b=c+2，利用sinA= $\text{[math]}$ ，求出A=60°或120°．判断A的值．利用余弦定理能求出三边长，从而得到这个三角形的周长．
解答：不妨设三角形的三边分别为a、b、c，且a＞b＞c＞0，
设公差为d=2，三个角分别为、A、B、C，
则a-b=b-c=2，
a=c+4，b=c+2，
∵sinA= $\text{[math]}$ ，
∴A=60°或120°．
若A=60°，因为三条边不相等，
则必有角大于A，矛盾，故A=120°．
cosA= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
=- $\text{[math]}$ ．
∴c=3，
∴b=c+2=5，a=c+4=7．
∴这个三角形的周长=3+5+7=15．
点评：本题考查三角形的周长的求法，考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．解题是要认真审题，注意余弦定理的合理运用．