Question

已知△ABC的三边长为三个连续的正整数，且最大角为钝角，则最长边长为

4

．

Answer 1

分析：先设△ABC的三边分别为n-1，n，n+1，由∠C为钝角⇒cosC＜0，然后根据余弦定理得出c²=a²+b²-2ab•cosC＞a²+b²，得出n-1）²+n²＜（n+1）²，求出n，当n=2时，不能构成三角形，舍去，当n=3时，求出△ABC三边长，即可求出最长的边长．

解答：解：设△ABC的三边a，b及c分别为n-1，n，n+1（n≥2，n∈Z），
∵△ABC是钝角三角形，不妨设∠C为钝角，则有cosC＜0，
由余弦定理得：（n+1）²=（n-1）²+n²-2n（n-1）•cosC＞（n-1）²+n²，
即（n-1）²+n²＜（n+1）²⇒n²-4n＜0⇒0＜n＜4，
∵n≥2，n∈Z，∴n=2，n=3，
当n=2时，不能构成三角形，舍去，
当n=3时，△ABC三边长分别为2，3，4，
综上，最长的边长为4．
故答案为：4

点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有三角形的边角关系，余弦函数的图象与性质，以及余弦定理，灵活运用余弦定理得出（n-1）²+n²＜（n+1）²是解本题的关键．