Question

已知函数(a ,bR，e为自然对数的底数），.
(I )当b=2时，若存在单调递增区间，求a的取值范围；
(II)当a>0 时，设的图象C₁与的图象C₂相交于两个不同的点P、Q，过线段PQ的中点作x轴的垂线交C₁于点，求证.

Answer 1

（Ⅰ）．（Ⅱ）见解析

（Ⅰ）先求出函数的导数，然后利用条件转化为方程有解问题；（Ⅱ）构造函数，利用导数法研究函数的单调性。
（Ⅰ）当时，若，则
，原命题等价于在R上有解．…2分
法一：当时，显然成立；
当时，
∴　，即．综合所述　．…………………5分
法二：等价于在R上有解，即∴　．………………5分
（Ⅱ）设，不妨设，则，
，，
两式相减得：，……………7分
整理得

则，于是，……9分
而
令，则设，则
，
∴　在上单调递增，则，于是有，即，且，∴　，即．