Question

已知函数f(x)＝ax³＋2x²＋b(x∈R)，其中a，b∈R，g(x)＝x⁴＋f(x)．

(1)当a＝－时，讨论函数f(x)的单调性；

(2)若函数g(x)仅在x＝0处有极值，求a的取值范围；

(3)若对于任意的a∈[－2，2]，不等式g(x)≤1在[－1，1]上恒成立，求b的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

(1)　　1分 　　当时，．令，解得，　　2分 　　当变化时，，的变化情况如下表： 　　所以在内是增函数，在，内是减函数　　5分 　　(2)，显然不是方程的根　　7分 　　为使仅在处有极值，必须成立　　8分 　　即有．解不等式，得．这时，是唯一极值　　9分 　　因此满足条件的的取值范围是　　10分 　　(3)由条件，可知　　11分 　　从而恒成立．在上，当时，；当时，． 　　因此函数在上的最大值是与两者中的较大者　　13分 　　为使对任意的，不等式在上恒成立，当且仅当，即，在上恒成立　　15分 　　所以，因此满足条件的的取值范围是　　16分