Question

【题目】在平面直角坐标系中，抛物线，圆，已知直线与圆相切，且与抛物线相交于两点.

（Ⅰ）求直线在轴上截距的取值范围；

（Ⅱ）设是抛物线的焦点，，求直线的方程.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）或．

【解析】

（Ⅰ）设直线的方程为，由直线与圆相切，可得，直线的方程代入，消去，由直线与抛物线相交于，两点，得，即可求直线在轴上截距的取值范围；

（Ⅱ）由，结合韦达定理和条件，解方程，即可求直线的方程．

解：（Ⅰ）设直线的方程为，的圆心为，半径为1，

由直线与圆相切，

得，化简得，

直线的方程代入，消去，得，

由直线与抛物线相交于，两点，得△，即，

将代入上式，得．

解得或，

注意到，从而有或，即.

（Ⅱ）设，，，，，

由得，，

所以

，

将，代入上式，

由，得，

所以，即．

解得，或（舍去）．

故．

所以直线的方程为或．