题目内容

已知函数f（x）=2 $数学公式$ +cos2x+α- $数学公式$ ，x∈=[0， $数学公式$ ]的最大值为6．
（1）求实数a的值：
（2）求f（x）的单调增区间．

解：（1）函数f（x）=2 $\text{[math]}$ +cos2x+α- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ sin2x+cos2x+a=2sin（2x+ $\text{[math]}$ ）+a．
∵x∈=[0， $\text{[math]}$ ]，∴ $\text{[math]}$ ≤2x+ $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ ，∴-1≤2sin（2x+ $\text{[math]}$ ）≤2，故函数f（x）的最大值为2+a=6，∴a=4．
（2）令2kπ- $\text{[math]}$ ≤2x+ $\text{[math]}$ ≤2kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈z，可得 kπ- $\text{[math]}$ ≤x≤kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈z．
再由x∈=[0， $\text{[math]}$ ]，可得 f（x）的单调增区间为[0， $\text{[math]}$ ]．
分析：（1）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为2sin（2x+ $\text{[math]}$ ）+a，由 x∈=[0， $\text{[math]}$ ]得-1≤2sin（2x+ $\text{[math]}$ ）≤2，故函数f（x）的最大值为2+a=6，由此求得 a 的值．
（2）令 2kπ- $\text{[math]}$ ≤2x+ $\text{[math]}$ ≤2kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈z，求得x的范围即可求出f（x）的单调增区间，再由 x∈=[0， $\text{[math]}$ ]，进一步确定f（x）的单调增区间．
点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的单调增区间以及三角函数的最值，属于中档题．