Question

【题目】设椭圆 =1（a＞b＞0）的左焦点为F，离心率为 ，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为 ．
（1）求椭圆的方程；
（2）设A，B分别为椭圆的左，右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点．若 =8，求k的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：根据椭圆方程为 ．

∵过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得的线段长为 ，

∴当x=﹣c时， ，得y=± ，

∴ = ，

∵离心率为 ，∴ = ，

解得b= ，c=1，a= ．

∴椭圆的方程为 ；

（2）解：直线CD：y=k（x+1），

设C（x1，y1），D（x2，y2），

由 消去y得，（2+3k2）x2+6k2x+3k2﹣6=0，

∴x1+x2=﹣ ，x1x2= ，又A（﹣ ，0），B（ ，0），

∴

=（x1+ ，y1）（ ﹣x2．﹣y2）+（x2+ ，y2）（ ﹣x1．﹣y1），

=6﹣（2+2k2）x1x2﹣2k2（x1+x2）﹣2k2，

=6+ =8，解得k= ．

【解析】（1）先根据椭圆方程的一般形式，令x=c代入求出弦长使其等于 ，再由离心率为 ，可求出a，b，c的关系，进而得到椭圆的方程．（2）直线CD：y=k（x+1），设C（x1 ， y1），D（x2 ， y2），由 消去y得，（2+3k2）x2+6k2x+3k2﹣6=0，再由韦达定理进行求解．求得 ，利用 =8，即可求得k的值．
【考点精析】利用一般式方程和椭圆的标准方程对题目进行判断即可得到答案，需要熟知直线的一般式方程：关于的二元一次方程（A，B不同时为0）；椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：．