Question

【题目】如图，在多面体中，平面平面，四边形为正方形，四边形为梯形，且，，，.

（1）求证：；

（2）若为线段的中点，求证：平面；

（3）求多面体的体积.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.

【解析】

（1）由题意结合几何关系可证得平面，由线面垂直的定义即可证得．

（2）延长交于点，由题意可证得四边形为平行四边形，据此结合线面平行的判定定理证明题中的结论即可；

（3）设为中点，连接，．将多面体分割为两部分，分别求解对应的体积，然后相加即可确定多面体的体积.

（1）证明：因为四边形为正方形，所以．

又因为平面平面，

且平面平面， 平面，

所以平面．

又平面，所以．

（2）延长交于点，

因为，为中点，

所以≌，

所以．

因为，所以．

由已知，且,

又因为，所以，且，

所以四边形为平行四边形，所以．

因为平面，平面，

所以平面．

（3）设为中点，连接，．

由已知，所以平面．

又因为，所以平面，

所以平面平面．

因为，，所以平面，

所以多面体为直三棱柱．

因为，且，

所以．

由已知，且，

所以，且．

又因为，平面，

所以平面．

因为，

所以，

所以．