Question

如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥DB，AC与BD相交于点O，且顶点P在底面上的射影恰为O点，又BO=2，PO=，PB⊥PD．
（1）求异面直线PD与BC所成角的余弦值；
（2）求二面角P-AB-C的大小；
（3）设点M在棱PC上，且，问λ为何值时，PC⊥平面BMD．

Answer 1

【答案】分析：（1）以O为原点，OA，OB，OP分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，要求两条异面直线所成的角，在两条异面直线上构造方向向量，根据两条向量的夹角得到结果．
（2）设出平面的法向量，根据法向量与平面上的两条相交直线对应的向量垂直，列出关系式，写出平面的一个法向量，根据两个向量之间的夹角得到面面角．
（3）设出M点的坐标，根据三点共线与垂直，得到关于未知数的方程组，解出方程组得到点M的坐标，求出对应的λ的值．
解答：解：∵PO⊥平面ABCD，
以O为原点，OA，OB，OP分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则
各点坐标为O（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），C（-1，0，0），D（0，-1，0），P（0，0，）．
（1）∵，
∴．
∴．
故直线PD与BC所成的角的余弦值为．
（2）设平面PAB的一个法向量，
由于，
由
取的一个法向量m=（0，0，1），
∴．
又二面角P-AB-C不是钝角．
∴所求二面角P-AB-C的大小为45°
（3）设M（x，0，z），由于P，M，C三点共线，可得，，①
若PC⊥平面BMD成立
则必有．
∴．
∴②
由①②知
．∴
故λ=2时，PC⊥平面BMD．
点评：本题考查空间中直线与平面之间的关系，用空间向量求解夹角，本题解题的关键是建立坐标系，把理论的推导转化成数字的运算，降低了本题的理论推导的难度．