已知下列命题:①函数f(x)=$\sqrt{2+{x^2}}+\frac{1}{{\sqrt{2+{x^2}}}}$有最小值2,②“x2-4x-5=0 的一个必要不充分条件是“x=5 ,③命题p:?x∈R.tanx=1,命题q:?x∈R.x2-x+1＞0．则命题“p∧(?q) 是假命题,④函数f(x)=x3-3x2+1在点处的切线方程为y=-3．其中正确命题的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

3．已知下列命题：
①函数f（x）=$\sqrt{2+{x^2}}+\frac{1}{{\sqrt{2+{x^2}}}}$有最小值2；
②“x²-4x-5=0”的一个必要不充分条件是“x=5”；
③命题p：?x∈R，tanx=1；命题q：?x∈R，x²-x+1＞0．则命题“p∧（?q）”是假命题；
④函数f（x）=x³-3x²+1在点（2，f（2））处的切线方程为y=-3．
其中正确命题的序号是③④．

分析 ①令$\sqrt{2+{x}^{2}}$=t$≥\sqrt{2}$，g（t）=t+$\frac{1}{t}$，利用导数研究其单调性极值与最值，即可判断出正误；
②“x=5”⇒“x²-4x-5=0”，反之不成立，即可判断出正误；
③命题p：?x=$\frac{π}{4}$，tanx=1，因此是真命题；命题q：?x∈R，x²-x+1=$（x-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{3}{4}$＞0，是真命题．即可判断出正误；
④函数f（x）=x³-3x²+1，f′（x）=3x²-6x，f′（2）=0，f（2）=-3，即可得出函数f（x）在点（2，f（2））处的切线方程，即可判断出正误．

解答解：①令$\sqrt{2+{x}^{2}}$=t$≥\sqrt{2}$，g（t）=t+$\frac{1}{t}$，g′（t）=1-$\frac{1}{{t}^{2}}$=$\frac{{t}^{2}-1}{{t}^{2}}$＞0，因此函数g（t）单调递增，∴g（t）≥$g（\sqrt{2}）$=$\sqrt{2}+\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$＞2，
∴函数f（x）=$\sqrt{2+{x^2}}+\frac{1}{{\sqrt{2+{x^2}}}}$有最小值$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，大于2，因此不正确；
②“x²-4x-5=0”的一个充分不必要条件是“x=5”，因此不正确；
③命题p：?x=$\frac{π}{4}$，tanx=1，因此是真命题；命题q：?x∈R，x²-x+1=$（x-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{3}{4}$＞0，是真命题．则命题“p∧（?q）”是假命题，正确；
④函数f（x）=x³-3x²+1，f′（x）=3x²-6x，f′（2）=0，f（2）=-3，∴函数f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=-3，正确．
其中正确命题的序号是 ③④．
故答案为：③④．

点评本题考查了简易逻辑的判定方法、利用导数研究函数的单调性极值与最值及其切线方程，考查了推理能力，属于中档题．

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14．

如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分统计的茎叶图，则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是（　　）

11．已知数列{a_n}（n∈N⁺）的前N项和为S_n，满足$\frac{n}{2}$a_n，且a₂=1
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{4}{15}$•（-2）${\;}^{{a}_{n}}$（n∈N⁺），对任意的正整数k，将集合（b_2k-1，b_2k，b_2k+1}中的三个元素排成一个递增的等差数列，其公差为d_k，求证：数列{d_k}为等比数列；
（3）对（2）题中的d_k，求集合{x|d_k＜x＜d_k+1，x∈Z}的元素个数．

18．下列命题中，真命题是（　　）

	A．	存在x₀∈R，使得2^x₀＜0
	B．	a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件
	C．	若m＞n，则log₂m＞log₂n
	D．	若“p且q”为假命题，则p，q均为假命题