Question

5．已知y=f（x）（x∈R）的导函数为f′（x）．若f（x）-f（-x）=2x³，且当x≥0时，f′（x）＞3x²，则不等式f（x）-f（x-1）＞3x²-3x+1的解集是（　　）

• A． $（-\frac{1}{2}，+∞）$
• B． $（\frac{1}{2}，+∞）$
• C． $（-∞，-\frac{1}{2}）$
• D． $（-∞，\frac{1}{2}）$

Answer 1

分析 先构造函数令F（x）=f（x）-x³，判断出F（x）的奇偶性和单调性，即可得到|x|＞|x-1|，解得即可．

解答 解：令F（x）=f（x）-x³，则由f（x）-f（-x）=2x³，
可得F（-x）=F（x），故F（x）为偶函数，
又当x≥0时，f′（x）＞3x²即F′（x）＞0，
所以F（x）在（0，+∞）上为增函数．
不等式f（x）-f（x-1）＞3x²-3x+1化为F（x）＞F（x-1），
所以有|x|＞|x-1|，
解得x＞$\frac{1}{2}$．
故选：B．

点评 本题考查函数的导数的应用，函数的对称性、单调性、奇偶性的应用，考查转化思想以及计算能力．