Question

已知

π

2

＜β＜α＜

3π

4

，且cos(α-β)=

12

13

，sin(α+β)=-

3

5

．
（1）求α-β，α+β的取值范围；
（2）求cos2β的值．

Answer 1

分析：（1）由两角的范围和它们本身的大小关系，可以推出两角的和与差的范围，求两角差的范围时，要首先求出-β的范围，两者相加；（2）2β的余弦求法，要以α、β两角的和与差为基础，通过角的变换2β=（α+β）-（α-β）得到．

解答：解：（1）由

π

2

＜β＜α＜

3π

4

，得-

3π

4

＜-β＜-

π

2

，又

π

2

＜α＜

3π

4

，
两式相加有-

π

4

＜α-β＜

π

4

，而α-β＞0，∴0＜α-β＜

π

4

，
由

π

2

＜α＜

3π

4

与

π

2

＜β＜

3π

4

相加得π＜α+β＜

3π

2

，
∴α-β∈(0，

π

4

)，α+β∈(π，

3π

2

)；
（2）由（1）及已知得sin(α-β)=

1-( 12 13 )2

=

5

13

，cos(α+β)=-

1-(- 3 5 )2

=-

4

5

，
∴cos2β=cos[（α+β）-（α-β）]
=cos（α+β）cos（α-β）+sin（α+β）sin（α-β）
=(-

4

5

)×

12

13

+(-

3

5

)×

5

13

=-

63

65

．

点评：角的变换是三角函数中的一种题型，常见的变换如：2β=（α+β）-（α-β），2α=（α+β）+（α-β），β=（α+β）-α，β=(

β

2

-

α

2

)+ (

β

2

+

α

2

)等