Question

（12分）已知函数
(Ⅰ)当时,求函数的最小值;
(Ⅱ)若对任意,恒成立,试求实数的取值范围.

Answer 1

(Ⅰ) 时,取得最小值.(Ⅱ) .

试题分析：（1）先将原式化成求解导数f‘(x)，再利用导数的正负与函数单调性的关系，即可求得函数f（x）的最小值；
（2）原题等价于x²+2x+a＞0对x∈[1，+∞）恒成立，再结合二次函数的单调性只须g（1）＞0，从而求得实数a的取值范围；
解(Ⅰ) 时,(因为)
所以,在上单调递增,故时,取得最小值.
(Ⅱ) 因为对任意,恒成立,即恒成立,只需恒成立，只需,因为,
所以,实数的取值范围是.
点评：解决该试题的关键是是对于同一个问题的不同的处理角度，可以运用均值不等式得到最值，也可以结合导数的工具得到最值，对于恒成立问题一般都是转换为求解函数的 最值即可得到。