Question

已知椭圆两焦点F₁、F₂在y轴上，短轴长为，离心率为，P是椭圆在第一象限弧上一点，且，过P作关于直线F₁P对称的两条直线PA、PB分别交椭圆于A、B两点．
（1）求P点坐标；
（2）求证直线AB的斜率为定值．

Answer 1

【答案】分析：（1）设出椭圆的标准方程，根据题意可知b，进而根据离心率和a，b和c的关系求得a和c，则椭圆的方程可得．进而求得焦点的坐标，设出点P的坐标，分别表示出和，进而根据求得x和y的关系式，把点P的坐标代入椭圆方程求和另一个关系式，联立方程求得x和y即P的坐标．
（2）根据（1）可知PF₁∥x轴，设PB的斜率为k，根据点斜式表示出直线的方程，与椭圆的方程联立消去y，设出B的坐标，根据题意可求得x_B的表达式，同理求得x_A的表达式，进而可知x_A-x_B的表达式，根据直线方程求得y_A-y_B，进而根据斜率公式求得直线AB的斜率，结果为定值．
解答：解：（1）设椭圆的方程为+=1，由题意可得b=，
=，即a=c，
∵a²-c²=2
∴c=，a=2
∴椭圆方程为+=1
∴焦点坐标为（0，），（0，-），设p（x，y）（x＞0，y＞0）
则=（-x，-y），=（-x，--y），
∴•=x²-（2-y²）=1
∵点P在曲线上，则+=1
∴x²=，
从而-（2-y²）=1，得y=，则点P的坐标为（1，）

（2）由（1）知PF₁∥x轴，直线PA，PB斜率互为相反数，设PB的斜率为k（k＞0），
则PB的直线方程为y-=k（x-1），由得
（2+k²）x²+2k（-k）x+（-k²）-4=0
设B（x_B，y_B），则x_B=-1=，
同理可得，则，
y_A-y_B=-k（x_A-1）-k（x_B-1）=
所以AB的斜率k_AB==为定值．
点评：本题主要考查了椭圆的应用，直线与椭圆的关系，椭圆的标准方程．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．