Question

8．函数f（x）=$\frac{2x+1}{x+1}$．
（1）用定义证明函数的单调性并写出单调区间；
（2）求f（x）在[3，5]上最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）分离常数得到f（x）=$2-\frac{1}{x+1}$，根据反比例函数的单调性便可看出f（x）的单调递增区间为（-∞，-1），（-1，+∞），根据单调性的定义证明：设任意的x₁，x₂≠-1，且x₁＜x₂，然后作差，通分，说明x₁，x₂∈（-∞，-1），或x₁，x₂∈（-1，+∞）上时都有f（x₁）＜f（x₂），这样即可得出f（x）的单调区间；
（2）根据f（x）的单调性便知f（x）在[3，5]上单调递增，从而可以求出f（x）的值域，从而可以得出f（x）在[3，5]上的最大、最小值．

解答 解：（1）$f（x）=\frac{2（x+1）-1}{x+1}=2-\frac{1}{x+1}$；
该函数的定义域为{x|x≠-1}，设x₁，x₂∈{x|x≠-1}，且x₁＜x₂，则：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=\frac{1}{{x}_{2}+1}-\frac{1}{{x}_{1}+1}=\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{（{x}_{1}+1）（{x}_{2}+1）}$；
∵x₁＜x₂；
∴x₁-x₂＜0；
∴x₁，x₂∈（-∞，-1）时，x₁+1＜0，x₂+1＜0；x₁，x₂∈（-1，+∞）时，x₁+1＞0，x₂+1＞0；
∴（x₁+1）（x₂+1）＞0；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在（-∞，-1），（-1，+∞）上单调递增，即f（x）的单调增区间为（-∞，-1），（-1，+∞）；
（2）由上面知f（x）在[3，5]上单调递增；
∴f（3）≤f（x）≤f（5）；
∴$\frac{7}{4}≤f（x）≤\frac{11}{6}$；
∴f（x）在[3，5]上的最大值为$\frac{11}{6}$，最小值为$\frac{7}{4}$．

点评 考查分离常数法的运用，反比例函数的单调性和单调区间，根据单调性的定义找函数单调区间的方法和过程，根据函数单调性求函数在闭区间上的最值．