Question

10．在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，已知直线l上两点M、N的极坐标分别为（3，π），（$\sqrt{3}$，$\frac{π}{2}$）．
（Ⅰ）设P为线段MN上的动点，求线段OP取得最小值时，点P的直角坐标；
（Ⅱ）求以MN为直径的圆C的参数方程，并求在（Ⅰ）的条件下直线OP与圆C相交所得的弦长．

Answer 1

分析 （I）点M、N的极坐标分别为（3，π），（$\sqrt{3}$，$\frac{π}{2}$），利用极坐标与直角坐标互化公式可得直角坐标，进而得到直线l的方程．当OP⊥MN时，线段OP取得最小值，此时直线OP的斜率为-$\sqrt{3}$．可得直线OP的方程，联立即可解得P坐标．
（II）线段MN的中点C$（-\frac{3}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}）$，可得以MN为直径的圆C的标准方程为：$（x+\frac{3}{2}）^{2}+（y-\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}$=3．利用cos²θ+sin²θ=1可以化为参数方程．利用点到直线的距离公式可得圆心C到直线l的距离d，在（Ⅰ）的条件下直线OP与圆C相交所得的弦长=2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$．

解答 解：（I）点M、N的极坐标分别为（3，π），（$\sqrt{3}$，$\frac{π}{2}$），可得直角坐标分别为：（-3，0），$（0，\sqrt{3}）$．
可得直线l的方程：$y=\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$．
当OP⊥MN时，线段OP取得最小值，此时直线OP的斜率为-$\sqrt{3}$．
∴直线OP的方程为：y=-$\sqrt{3}$x．联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\sqrt{3}x}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{3}x+\sqrt{3}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{3}{4}}\\{y=\frac{3\sqrt{3}}{4}}\end{array}\right.$．
∴P$（-\frac{3}{4}，\frac{3\sqrt{3}}{4}）$．
（II）线段MN的中点C$（-\frac{3}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}）$，∴以MN为直径的圆C的标准方程为：$（x+\frac{3}{2}）^{2}+（y-\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}$=3．
化为参数方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{3}{2}+\sqrt{3}cosθ}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}+\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数）．
∵圆心C到直线l的距离d=$\frac{|-\frac{3\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}|}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴在（Ⅰ）的条件下直线OP与圆C相交所得的弦长=2$\sqrt{3-（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=3．

点评 本题考查了极坐标与直角坐标方程的互化、参数方程化为普通方程、点到直线的距离公式、直线与圆相交弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．