题目内容

过抛物线y2=4x上一点A（1，2）作抛物线的切线，分别交x轴于点B，交y轴于点D，点C（异于点A）在抛物线上，点E在线段AC上，满足
AE
=λ1
EC
；点F在线段BC上，满足
BF
=λ2
FC
，且λ1+λ2=1，线段CD与EF交于点P．
（1）设
DP
=λ
PC
，求λ；
（2）当点C在抛物线上移动时，求点P的轨迹方程．
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（1）过点A的切线方程为y=x+1． …（1分）
切线交x轴于点B（-1，0），交y轴交于点D（0，1），则D是AB的中点．
所以
CD
=
1
2
(
CA
+
CB
)．                            （1）…（3分）
由
DP
=λ
PC
?
DP
+
PC
=（1+λ）
PC
?
CD
=(1+λ)
CP
． （2）
同理由 
AE
=λ1
EC
，得
CA
=（1+λ1）
CE
，（3）
BF
=λ2
FC
，得
CB
=（1+λ2）
CF
．     （4）
将（2）、（3）、（4）式代入（1）得
CP
=
1
2(1+λ)
[(1+λ1)
CE
+(1+λ2)
CF
]．
因为E、P、F三点共线，所以 
1+λ1
2(1+λ)
+
1+λ2
2(1+λ)
=1，
再由λ1+λ2=1，解之得λ=
1
2
．…（6分）
（2）由（1）得CP=2PD，D是AB的中点，所以点P为△ABC的重心．
所以，x=
1-1+x0
3
，y=
2+0+y0
3
．
解得x0=3x，y0=3y-2，代入y02=4x0得，（3y-2）2=12x．
由于x0≠1，故x≠
1
3
．所求轨迹方程为（3y-2）2=12x （x≠
1
3
）． …（10分）
练习册系列答案
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AE
=λ1
EC
；点F在线段BC上，满足
BF
=λ2
FC
，且λ1+λ2=1，线段CD与EF交于点P．
（1）设
DP
=λ
PC
，求λ；
（2）当点C在抛物线上移动时，求点P的轨迹方程．
过抛物线y2=4x上的焦点作斜率为1的直线，交抛物线于A、B两点，则|AB|的值为（　　）
如图：过抛物线y2=4x上的点A（1，2）作切线l交x轴与直线x=-4分别于D，B．动点P是抛物线y2=4x上的一点，点E在线段AP上，满足
AE
EP
=λ1；点F在线段BP上，满足
BF
FP
=λ2，3λ1+2λ2=15且在△ABP中，线段PD与EF交于点Q．
（1）求点Q的轨迹方程；
（2）若M，N是直线x=-3 上的两点，且⊙O1：（x+2）2+y2=1是△QMN的内切圆，试求△QMN面积的取值范围．

过抛物线y2=4x上一点A(1，2)作抛物线的切线，分别交x轴于点B，交y轴于点D，点C(异于点A)在抛物线上，点E在线段AC上，满足=λ1；点F在线段BC上，满足=λ2，且λ1+λ2=1，线段CD与EF交于点P．

(1)设，求；

(2)当点C在抛物线上移动时，求点P的轨迹方程．
过抛物线y2=4x上一点A（1，2）作抛物线的切线，分别交x轴于点B，交y轴于点D，点C（异于点A）在抛物线上，点E在线段AC上，满足=λ1；点F在线段BC上，满足=λ2，且λ1+λ2=1，线段CD与EF交于点P．
（1）设，求λ；
（2）当点C在抛物线上移动时，求点P的轨迹方程．

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